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有两种形状的瓷砖：一种是 2x1 的多米诺形，另一种是形如 "L" 的托米诺形。两种形状都可以旋转。

XX  <- 多米诺XX  <- "L" 托米诺X

给定 N 的值，有多少种方法可以平铺 2 x N 的面板？返回值 mod 10^9 + 7。

（平铺指的是每个正方形都必须有瓷砖覆盖。两个平铺不同，当且仅当面板上有四个方向上的相邻单元中的两个，使得恰好有一个平铺有一个瓷砖占据两个正方形。）

示例:输入: 3输出: 5解释: 下面列出了五种不同的方法，不同字母代表不同瓷砖：XYZ XXZ XYY XXY XYYXYZ YYZ XZZ XYY XXY

思路：这个题目刚开始有点思路，很模糊，看了这个博客恍然开朗。

我们定义fe[n]表示2*n的格子有多少种铺法，定义fo[n]表示2*n + 1的格子有多少种铺法（也就是在2*n的格子上面含有一个格子），然后推导fe和fo的递推关系。对于fe的最顶层，我们分别有如下图所示的几种铺法，因此，可以得出递推关系为：

fe[n] = fe[n - 1] + fe[n - 2] + 2fe[n - 3] + 2fo[n - 3];

fo[n] = fo[n - 1] + fe[n - 1].

特别地，我们容易得知：fe[1] = 1, fe[2] = 2, fe[3] = 5, fo[1] = 2, fo[2] = 2, fo[3] = 4。因此就可以根据初始条件和递推关系写出基于动态规划的源代码了。

我们在下面写出的源代码的空间复杂度为O(N)，时间复杂度为O(N)。但是注意到fe[n]和fo[n]也仅仅只和fe[n-1], fe[n-2], fe[n-3]以及fo[n-1], fo[n-2], fo[n-3]有关，所以还可以进一步将空间复杂度从O(n)优化到O(1)。读者可以自行实现了^_^。

更新：后来发现上面的递推公式还是推导复杂了，其实把fo(n) = fo(n - 1) + fe(n - 1)代入fe(n),可以得到更简单的递推公式：fe[n] = fe[n - 1] + fe[n - 2] + 2fo[n-2]，甚至还可以进一步优化为fe[n] = fe[n - 1] + fo[n - 1] + fo[n-2]，还可以进一步优化为fe[n] = fo[n] + fo[n - 2]。这样写出来的代码应该就更简洁优雅了。

class Solution {public:    int numTilings(int N) {        long a[N+3];        long b[N+3];        int i=0;        int c=1e9+7;        a[1]=1,a[2]=2,b[2]=1;        if(N>=3){            for(i=3;i<=N;i++){            a[i]=(a[i-1]+a[i-2]+2*b[i-1])%c;            b[i]=(b[i-1]+a[i-2])%c;            }        }                return a[N];    }};